0.0 Indice.

1 - Enlaces de Interés
1.1 - http://tallerdemateprofe.blogspot.com/

2 - Grandes Matemáticos
2.1 - Georg Cantor. Teoría de conjuntos

3 - Videos Matemáticos

4 - Matemáticas: Juegos, Diversiones y Curiosidades

5 - Libros de Matemáticas
5.1 El hombre que calculaba

6 - Geometría
6.1 - Poliedros. Sólidos Platónicos
6.2 - Fractales

7 - Hojas de Problemas
7.1 - Hoja de Problemas 1.2
7.2 - Hoja de Problemas 1.3
7.3 - Hoja de Problemas 2.1


8 - Matemáticas y Arte
8.1 - Maurits Cornelis Escher
8.2 - Aleksandr Ródchenko
8.3 - Mosaicos y Teselaciones. Hueso Nazarí
8.4 - Fotografía Matemática

9 - Matemáticas y Tecnología
9.1 - Telecomunicaciones
TCP/IP, , HTTP, HTML
Vinton Cerf, Tim Berners-Lee

10 - Números Exstraordinarios
10.1 - El Número de Oro φ (fi)
Relación con la serie de Fibonacci
El número áureo en la Naturaleza
El número áureo en el ser humano
El número áureo en el Arte
El número áureo en la Música

10.2 - El Número π (pi)
10.3 - El Número e

6-Geometría

1-POLIEDROS.SÓLIDOS PLATÓNICOS

Sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras...Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:-Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.-Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.-Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:-Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.-Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.-Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).

2-FRACTALES

Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:-Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.-Posee detalle a cualquier escala de observación.-Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).-Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.-Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

5-Libros de Matemáticas

EL HOMBRE QUE CALCULABA

Es una novela escrita por el brasileño Júlio César de Mello e Souza, bajo el seudónimo Malba Tahan. Esta obra puede ser considerada al mismo tiempo como una novela y como un libro de problemas y curiosidades matemáticas. El propio autor reconoció que uno de sus objetivos al escribirlo fue el de contribuir a popularizar las matemáticas, presentándolas para ello, no ya de forma abstracta, o en contextos meramente simbólicos, sino integradas a los acontecimientos y atravesadas por muchos otros aspectos, como cuestiones morales y de historia.

Hank Tade-Mai es un viajero que retorna en su camello a Bagdad, luego de una excursión a la ciudad de Samarra. En su camino, encuentra a un hombre modestamente vestido, sentado en una piedra y exclamando en voz alta números gigantescos. El hombre que calculaba dice llamarse Beremiz Samir y cuenta que nació en Persia, donde trabajando como pastor comenzó a contar ovejas para no extraviar ninguna, siendo que a partir de entonces tomó el gusto por contar y calcular acerca de todo lo que encuentra a su paso. El viajero está maravillado con el don de este hombre y termina convenciéndolo, no sin antes sorprenderlo por su gran modestia, de ir a Bagdad para mostrar sus habilidades matemáticas y encontrar un trabajo bien pago en el gobierno del califa. Juntos, el viajero y Beremiz emprenden un largo viaje en el cual el hombre que calculaba resuelve diversos problemas, como disputas entre personas, y demuestra ser no sólo un prodigio matemático, sino también un hombre de una gran entereza moral y un excelente narrador de historias.

4-Matemáticas:Juegos, Diversiones y Curiosidades

Esta es una página de matemáticas que os puede resultar divertida

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EL NÚMERO DE ORO

Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro (representado habitualmente con la letra griega ) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea.



Tres números con nombre.

La sección áurea y el número de oro.

El rectángulo áureo.

Pitágoras y el número de oro.

La sucesión de Fibonacci.

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza.

La trigonometría y el número de oro.

Curiosidades áureas.



Tres números con nombre
Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son:

El número designado con la letra griega = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2..radio= .diámetro).

El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general .

El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.

Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5).

Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado es que da como resultado el número de oro.



La sección áurea y el número de oro
La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.

Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente



Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver



Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=.

Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el menor,



Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro.



El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.



Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es (nuestro número de oro).



Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).

Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.

En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces:



Vamos a demostrar que los vectores y son proporcionales:



Por lo tanto, los tres puntos están alineados.



Pitágoras y el número de oro
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.

La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.

Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.





También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea.

Ver la sección La trigonometría y el número de oro.





La sucesión de Fibonacci
Consideremos la siguiente sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.

Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci"*.

*Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano.

La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión:



t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).

Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5) sale el sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sale el octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21).

Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6) y añades 1, sale el séptimo término (t7), (1+3+8 + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) y añades 1, sale el noveno término (t9), (1+3+8+21 + 1 =34).

¡Aún las hay más difíciles de imaginar!

Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t4=3 y t5=5; elevando al cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando al cuadrado y sumando: 82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercer término de la sucesión.

Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13.

Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:

1 : 1 = 1
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1´5
5 : 3 = 1´66666666
8 : 5 = 1´6
13 : 8 = 1´625
21 :13 = 1´6153846....
34 :21 = 1´6190476....
55 :34 = 1´6176471....
89 :55 = 1´6181818....

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a =1,61803.... En lenguaje matemático,



Efectivamente,




El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.



En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=.


Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2.



Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.



Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco.



Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.

En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.





En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.





La espiral logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.



Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.


La trigonometría y el número de oro
Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos, que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudes de estos segmentos cumplen: a>b>c>d.

Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno.

Triángulo ABE



Triángulo ABF



Triángulo AFG



Como 72º=180º-108º, se verifica que sen72º=sen108º.



En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones:



Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual a nuestro número de oro.

Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y haciendo b=1:

(el numero de oro)

Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea.

Como consecuencia, se verifica .



Curiosidades áureas
Potencias. Los números guardan unas curiosas relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la ecuación que tiene como solución el número de oro:



Potencias 2. Consideremos la sucesión de término general: . Si calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias



podemos concluir que la sucesión dada se convierte en



Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede obtener sumando los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci.

Limites. Comprobemos que los siguientes límites dan como resultado el número de oro:
1 2


1. Llamemos "L" al valor del límite. Fácilmente se comprueba que se verifica la ecuación . Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación final . Una de las soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro .

2. Sea "M" el valor del límite. Se comprueba la relación . Quitando denominadores y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación cuya solución positiva es el número de oro.

Hoja de mate 1.3

1) ¿De cuántas formas diferentes se pueden juntar 8€ utilizando solo monedas de 2€, 1€ y 0.50 €?

2·3+1+0.50·2=8€
3·2+0.50·2+1=8€
0.50·2+1+3·2=8€
2+0.50·2+1+2·2=8€
2·3+0.50·2+1=8€


2) Un motorista sale de su casa para acudir a una cita. Se da cuenta de que si viaja a 60 km/h llegará un cuarto de hora tarde, pero si lo hace a 100 km/h llegará un cuarto de hora antes. ¿A qué distancia está su destino?

3) Si los miembros de un grupo bailan de dos en dos, sobra uno. Si lo hacen de tres en tres, sobran dos, y si lo hacen de cinco en cinco también sobran dos.
¿Cuántas personas componen el grupo sabiendo que su número está comprendido entre 10 y 20? ¿Y si estuviera comprendido entre 30 y 50?

a)17 personas
b)47 personas


4) Utilizando solamente la cifra 5 y las operaciones oportunas se puede obtener cualquier número.
Por ejemplo, para obtener 6 podemos hacer:
55: 5 – 5 = 6
Busca la manera de obtener con la mínima cantidad de cincos:
a) Los veinte primeros números naturales.
b) Los números 111 y 125. 125=5·5·5=125
c) Los números 500, 1000 y 3000. 500=555-55=500 1000=555-55+555-55=1000
3000=55·55-5·5
5) Un nenúfar, en un lago, dobla su tamaño todos los días. En un mes cubre todo el lago. ¿Cuánto tiempo tardarán dos nenúfares en cubrir todo el lago?

La mitad, dado que un solo nenúfar tarda solo un mes, dos nenúfares tardaran solo la mitad.


6) ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona tus respuestas.

a) La suma de dos números consecutivos no es múltiplo de dos. No 1+1=2
b) La suma de dos impares consecutivos no es múltiplo de cuatro. Si 1+3=4
c) La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de tres. No 1+2+3=6


7) ¿Cuántos capicúas existen de cuatro cifras en los que las dos cifras extremas suman lo mismo que las dos centrales?

Existen 9: 1111-2222-3333-4444-5555-6666-7777-8888-9999

8) ¿Cuántos tramos de carretera son necesarios para comunicar cuatro ciudades de forma que desde cada una se pueda llegar a cualquier otra sin pasar por una tercera? ¿Y para comunicar cinco ciudades?
¿Y para comunicar n ciudades?

9) Un grupo de amigos va a comer a un restaurante chino. Cada dos comparten un plato de arroz, cada 3 uno de salsa y cada cuatro uno de carne. En total se sirvieron 65 platos. ¿Cuántos amigos fueron a comer?

10) ¿En cuantos ceros acaba el número 125!?

11) ¿Cuál es el último dígito de la expresión 2 (elevado a la 103) + 3?

12) De los 30 alumnos y alumnas de una clase, 15 declaran ser aficionados al rock, y 13, al bacalao. Hay 6 de ellos que son aficionados a ambos ritmos musicales. ¿Cuántos no son aficionados ni a lo uno ni a lo otro?

15+13=28 30-28=2 Dos alumnos mo son aficionados ni a lo uno ni a lo otro.

Hoja de mate1.2

1) Coloca diez soldaditos sobre una mesa de modo que haya cinco filas de cuatro soldaditos.

2) ¿Cuántos 9 se utilizan para escribir todos los números del 0 300?

3) Quita 8 pasillos de la figura que tiene 24.

a) Quita 8 para que queden 5 cuadrados.
b) Quita 8 para que queden 4 cuadrados.



4) El producto de las edades de tres personas es 390 ¿Cuáles son dichas edades?

5) Sitúa doce soldaditos sobre una mesa de modo que haya seis filas de cuatro soldaditos.


6) Cuatro vacas suizas y tres autóctonas dan tanta leche en cinco días como tres vacas suizas y cinco autóctonas en cuatro días. ¿Que vaca es mejor lechera, la suiza o la autóctona?

7) El primer digito de un número de seis cifras es 1. Si se mueve al otro extremo, a la derecha, manteniendo el orden del resto de las cifras, el nuevo número es tres veces el primero. ¿Cuál es el número original?

8) Un amigo le dice al otro:
- Tengo tres hijas, el producto de sus edades es 36 y su suma coincide con el número de esta casa.
- No puedo averiguar las edades, responde el amigo.
- ¡Ah! Es cierto. La mayor toca el piano.
- Ya sé las edades de tus hijas.
¿Cuáles son?

9) Cambiando solo tres cifras de lugar, has de conseguir invertir el triangulo, poniendo la base arriba y el vértice abajo.



10) TRES CABALLEROS CON SUS ESCUDEROS. Tres caballeros, cada uno con su escudero, se reunieron para cruzar un río. Encontraron una barca pequeña de dos plazas. Pero surgió una dificultad: todos los escuderos se niegan a permanecer con caballeros desconocidos sin la presencia de su amo. No valieron amenazas. Los testarudos escuderos se mantuvieron en lo suyo. Las seis personas a la otra orilla cumpliendo la condición.
¿Cómo lo hicieron?